📐 Bab 2: Persamaan dan Fungsi Kuadrat & Eksponensial

Matematika (Aljabar & Fungsi) | Pembuat: Dede Munawar, S.E

Progress: 0%

🎯 Tujuan & Capaian Pembelajaran

✅ Siswa memahami persamaan kuadrat (akar real dan imajiner) dan grafik fungsi kuadrat

✅ Siswa memahami persamaan eksponensial dan fungsi eksponensial

✅ Siswa mampu menyelesaikan masalah praktis menggunakan persamaan kuadrat dan eksponensial

📊 Alur Pembelajaran

📊 Persamaan

→

📈 Grafik

→

🚀 Eksponensial

→

🎯 Aplikasi

📊 Persamaan Kuadrat

Seperti menentukan titik tertinggi atau terendah dari sebuah parabola jalan tol.

$ax^2 + bx + c = 0$

🚀 Fungsi Eksponensial

Seperti pertumbuhan bakteri atau tabungan yang berkembang tiap periode.

$y = a \cdot b^x$

📊 1. Persamaan Kuadrat

💡 Perumpamaan: "Seperti menentukan titik tertinggi atau terendah dari sebuah parabola jalan tol."

📖 Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$.

🔍 Komponen

• • $a$ = koefisien $x^2$ (tidak boleh nol)
• • $b$ = koefisien $x$
• • $c$ = konstanta
• • $x$ = variabel yang dicari

📝 Contoh

• • $x^2 - 4x + 3 = 0$
• • $2x^2 + 5x - 3 = 0$
• • $x^2 - 9 = 0$
• • $3x^2 + 2x = 0$

📐 Rumus Kuadrat

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Diskriminan:
$\Delta = b^2 - 4ac$

Jika $\Delta > 0$:
2 akar real berbeda

Jika $\Delta = 0$:
1 akar real (kembar)

Jika $\Delta < 0$: 2 akar imajiner (kompleks)

🧮 Kalkulator Persamaan Kuadrat

Koefisien a:

Koefisien b:

Konstanta c:

Persamaan: $x^2 - 4x + 3 = 0$

📋 Langkah Penyelesaian:

📝 Praktik: Selesaikan Persamaan Kuadrat

Selesaikan persamaan: $2x^2 - 8x + 6 = 0$

Diskriminan ($\Delta = b^2 - 4ac$):

Akar pertama ($x_1$):

Akar kedua ($x_2$):

📝 Checkpoint Mini

Persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$ memiliki akar:

$x_1 = 2, x_2 = 3$ $x_1 = 1, x_2 = 6$ $x_1 = -2, x_2 = -3$

📈 2. Grafik Fungsi Kuadrat

💡 Perumpamaan: "Seperti memvisualisasikan lintasan bola yang dilempar ke udara."

📖 Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ berbentuk parabola dengan karakteristik khusus.

🔍 Karakteristik

• • Berbentuk parabola (U atau ∩)
• • Memiliki titik puncak (vertex)
• • Memiliki sumbu simetri
• • Jika $a > 0$: terbuka ke atas
• • Jika $a < 0$: terbuka ke bawah

📝 Rumus Penting

• • Sumbu simetri: $x = -\frac{b}{2a}$
• • Titik puncak: $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$
• • Diskriminan: $\Delta = b^2 - 4ac$
• • Titik potong y: $(0, c)$

📊 Visualisasi Grafik Kuadrat

Koefisien a:

Koefisien b:

Konstanta c:

Fungsi: $y = x^2 - 2x + 1$

📍 Informasi Grafik

🎯 Titik Penting

📝 Praktik: Analisis Grafik

Untuk fungsi $y = x^2 - 4x + 3$, tentukan:

Sumbu simetri ($x = -\frac{b}{2a}$):

Koordinat x titik puncak:

Koordinat y titik puncak:

📝 Checkpoint Mini

Grafik fungsi $y = -x^2 + 4x - 3$ memiliki:

Titik puncak di $(2, 1)$ dan terbuka ke atas Titik puncak di $(2, 1)$ dan terbuka ke bawah Titik puncak di $(-2, -1)$ dan terbuka ke bawah

🚀 3. Persamaan Eksponensial

💡 Perumpamaan: "Seperti pertumbuhan bakteri atau tabungan yang berkembang tiap periode."

📖 Pengertian Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang variabelnya berada pada pangkat (eksponen).

🔍 Bentuk Umum

• • $a^x = b$ (basis sama)
• • $a^{f(x)} = a^{g(x)}$
• • $a^x = b^x$ (eksponen sama)
• • Bentuk campuran

📝 Contoh

• • $2^x = 8$
• • $3^{2x-1} = 27$
• • $2^x = 4^{x-1}$
• • $5^x + 5^{x+1} = 30$

📐 Metode Penyelesaian

1. Basis Sama:
Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$
Maka $f(x) = g(x)$

2. Logaritma:
Jika $a^x = b$
Maka $x = \log_a b$

3. Substitusi:
Misal $y = a^x$
Ubah ke persamaan dalam $y$

4. Sifat Eksponen:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$

🧮 Kalkulator Persamaan Eksponensial

Pilih Tipe Persamaan: Sederhana: $a^x = b$ Basis Sama: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ Eksponen Sama: $a^x = b^x$

Basis (a):

Hasil (b):

Persamaan: $2^x = 8$

📋 Langkah Penyelesaian:

📝 Praktik: Selesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan persamaan: $3^{2x-1} = 27$

Ubah 27 ke basis 3:

Persamaan setelah basis sama:

Nilai x:

📝 Checkpoint Mini

Penyelesaian dari $4^x = 16$ adalah:

$x = 2$ $x = 4$ $x = 8$

📉 4. Fungsi Eksponensial

💡 Perumpamaan: "Seperti memprediksi jumlah uang di tabungan dengan bunga majemuk."

📖 Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi dengan bentuk $y = a \cdot b^x$ dimana $a > 0$, $b > 0$, dan $b \neq 1$.

🔍 Karakteristik

• • Domain: semua bilangan real
• • Range: $y > 0$ (jika $a > 0$)
• • Melewati titik $(0, a)$
• • Asimtot horizontal: $y = 0$
• • Monoton naik/turun

📝 Jenis

• • Jika $b > 1$: pertumbuhan
• • Jika $0 < b < 1$: peluruhan
• • $a$: nilai awal
• • $b$: faktor pertumbuhan

📊 Visualisasi Fungsi Eksponensial

Nilai awal (a):

Basis (b):

Fungsi: $y = 1 \cdot 2^x$

📍 Informasi Grafik

📋 Tabel Nilai

🎯 Aplikasi Praktis

Pilih Konteks Aplikasi: Pertumbuhan Populasi Investasi Bunga Majemuk Peluruhan Radioaktif Pertumbuhan Bakteri Penyusutan Nilai

📝 Praktik: Analisis Fungsi Eksponensial

Untuk fungsi $y = 3 \cdot 2^x$, tentukan:

Nilai y ketika x = 0:

Nilai y ketika x = 3:

Jenis fungsi (pertumbuhan/peluruhan): Pilih jenis... Pertumbuhan Peluruhan

📝 Checkpoint Mini

Fungsi $y = 5 \cdot (0.5)^x$ merupakan fungsi:

Pertumbuhan eksponensial Peluruhan eksponensial Linear

📝 Quiz Akhir Bab

1. Akar-akar persamaan $x^2 - 7x + 12 = 0$ adalah:

$x_1 = 3, x_2 = 4$ $x_1 = 2, x_2 = 6$ $x_1 = 1, x_2 = 12$

2. Titik puncak dari grafik $y = x^2 - 6x + 8$ adalah:

$(3, -1)$ $(3, 1)$ $(-3, -1)$

3. Penyelesaian dari $2^{x+1} = 16$ adalah:

$x = 3$ $x = 4$ $x = 5$

4. Fungsi $y = 4 \cdot (1.5)^x$ merupakan fungsi:

Pertumbuhan eksponensial Peluruhan eksponensial Kuadrat

5. Diskriminan dari persamaan $2x^2 - 4x + 3 = 0$ adalah:

$\Delta = -8$ (akar imajiner) $\Delta = 8$ (akar real berbeda) $\Delta = 0$ (akar kembar)

🎉 Quiz Selesai!

Skor Anda: 0/5

🔍 Refleksi Akhir

Apakah kamu bisa menentukan akar persamaan kuadrat dengan cepat?

Bagaimana grafik membantu memahami pertumbuhan eksponensial?